Fungsi dan Relasi

A. Relasi

1. Pengertian Relasi

Dalam kehidupan sehari-hari, kamu pasti pernah mendengar istilah relasi. Secara umum, relasi berarti hubungan. Di dalam matematika, relasi memiliki pengertian yang lebih khusus. Agar kamu lebih memahami pengertian relasi, pelajari uraian berikut.
Misalkan Eva, Roni, Tia, dan Dani diminta untuk menyebutkan warna kesukaannya masing-masing. Hasilnya adalah sebagai berikut:

• Eva menyukai warna merah
• Roni menyukai warna hitam
• Tia menyukai warna merah
• Dani menyukai warna biru

Pada uraian tersebut, terdapat dua himpunan, yaitu himpunan anak dan himpunan warna. Misalkan A adalah himpunan anak sehingga A = {Eva, Roni, Tia, Dani} dan B adalah himpunan warna sehingga B = {merah, hitam, biru}. Dengan demikian, relasi atau hubungan himpunan A dan himpunan B dapat digambarkan dengan diagram seperti tampak pada Gambar berikut:

Relasi himpunan A dan B pada Gambar 2.2 adalah "menyukai warna" Eva dipasangkan dengan merah, artinya Eva menyukai warna merah. Roni dipasangkan dengan hitam, artinya Roni menyukai warna hitam. Tia dipasangkan dengan merah, artinya Tia menyukai warna merah. Dani dipasangkan dengan biru, artinya Dani menyukai warna biru. Dari uraian tersebut, kamu akan menemukan pernyataan berikut.

Relasi antara dua himpunan, misalnya himpunan A dan himpunan B, adalah suatu aturan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.

2. Menyatakan Relasi

Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu menggunakan diagram panah, himpunan pasangan berurutan, dan diagram Cartesius.
a. Diagram Panah
Perhatikan kembali Gambar 2.2 . Relasi antara himpunan A dan himpunan B dinyatakan oleh arah panah. Oleh karena itu, diagram tersebut dinamakan diagram panah.
Agar kamu lebih memahami materi ini, pelajarilah contoh-contoh berikut!

Contoh Soal : Perhatikan diagram panah berikut. Tentukan hobi masing-masing anak. Jawab : Hasan dipasangkan dengan membaca, berarti Hasan hobi membaca. Maria tidak dipasangkan dengan membaca, memasak, atau olahraga. Jadi, hobi Maria bukanlah membaca, memasak, atau olahraga. Joni dipasangkan dengan membaca dan olahraga, berarti Joni hobi membaca dan berolahraga. Zahra dipasangkan dengan memasak, berarti Zahra hobi memasak Contoh Soal : Diketahui himpunan-himpunan bilangan A = {3, 4, 5, 6, 7} dan B = {4, 5, 6}. Buatlah diagram panah dari himpunan A ke himpunan B yang menunjukkan relasi: a. satu kurangnya dari, b. faktor dari. Jawab : a. 3  A dipasangkan dengan 4  B karena 4 = 3 + 1     4  A dipasangkan dengan 5  B karena 5 = 4 + 1     5 A dipasangkan dengan 6  B karena 6 = 5 + 1     Jadi, diagram panah dari himpunan A ke himpunan B yang menunjukkan relasi     "satu kurangnya dari" adalah sebagai berikut. b. 3  A dipasangkan dengan 6  B karena 3 merupakan faktor dari 6.     4  A dipasangkan dengan 4  B karena 4 merupakan faktor dari 4.     5  A dipasangkan dengan 5  B karena 5 merupakan faktor dari 5.     6  A dipasangkan dengan 6  B karena 6 merupakan faktor dari 6.     Jadi, diagram panah himpunan A ke himpunan B yang menunjukkan relasi     faktor dari adalah sebagai berikut.

b. Himpunan Pasangan Berurutan
Relasi "menyukai warna" pada Gambar 2.2 dapat juga dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan. Anggota-anggota himpunan A = {Eva, Roni, Tia, Dani} dipasangkan dengan anggota-anggota himpunan B = {merah, hitam, biru}, sebagai berikut.

Pernyataan "Eva menyukai warna merah" ditulis (Eva, merah).
Pernyataan "Roni menyukai warna hitam" ditulis (Roni, hitam).
Pernyataan "Tia menyukai warna merah" ditulis (Tia, merah).
Pernyataan "Dani menyukai warna biru" ditulis (Dani, biru).

Himpunan pasangan berurutan untuk relasi ini ditulis: {(Eva, merah), (Roni, hitam), (Tia, merah), (Dani, biru)}.
Jadi, relasi antara dua himpunan, misalnya himpunan A dan himpunan B dapat dinyatakan sebagai pasangan berurutan (x, y) dengan x  A dan y  B.

Contoh Soal : Diketahui dua himpunan bilangan P = {0, 2, 4, 6, 8} dan Q = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Jika relasi himpunan P ke himpunan Q adalah "dua kali dari", tentukan himpunan pasangan berurutan untuk relasi tersebut. Jawab : 0  A dipasangkan dengan 0  B karena 0 = 0 × 2, ditulis (0, 0) 2  A dipasangkan dengan 1  B karena 2 = 1 × 2, ditulis (2, 1) 4  A dipasangkan dengan 2  B karena 4 = 2 × 2, ditulis (4, 2) 6  A dipasangkan dengan 3  B karena 6 = 3 × 2, ditulis (6, 3) 8  A dipasangkan dengan 4  B karena 8 = 4 × 2, ditulis (8, 4) Jadi, himpunan pasangan berurutan untuk relasi "dua kali dari" adalah {(0, 0), (2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4)}

c. Diagram Cartesius
Perhatikan kembali Gambar 2.2 . Relasi pada gambar tersebut dapat dinyatakan dalam diagram Cartesius. Anggota-anggota himpunan A sebagai himpunan pertama ditempatkan pada sumbu mendatar dan anggota-anggota himpunan B pada sumbu tegak. Setiap anggota himpunan A yang berpasangan dengan anggota himpunan B, diberi tanda noktah (•). Untuk lebih jelasnya, perhatikan diagram Cartesius yang menunjukkan relasi "menyukai warna" berikut.

Contoh Soal : Diketahui dua himpunan bilangan A = {4, 5, 6, 7} dan B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Jika relasi himpunan A ke himpunan B adalah "lebih dari", gambarkan diagram Cartesiusnya. Jawab : Diketahui: A = {4, 5, 6, 7}                  B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Relasi himpunan A ke himpunan B adalah "lebih dari".Jadi, diagramnya adalah sebagai berikut.

B. Fungsi atau Pemetaan

1. Pengertian Fungsi atau Pemetaan Perhatikan diagram panah berikut.

Pada Gambar 2.4 , terdapat dua himpunan, yaitu himpunan P = {Nisa, Asep, Made, Cucu, Butet} dan himpunan Q = {A, B, O, AB}. Setiap anak anggota P dipasangkan dengan tepat satu golongan darah anggota Q. Bentuk relasi seperti ini disebut Fungsi atau Pemetaan. Uraian tersebut memperjelas definisi fungsi atau pemetaan, sebagai berikut.

Fungsi atau pemetaan adalah relasi khusus yang memasangkan setiap
anggota satu himpunan dengan tepat satu anggota satu himpunan yang lain.

Contoh Soal : Dari diagram-diagram panah berikut, manakah yang merupakan fungsi? Jawab : Diagram panah (a) merupakan fungsi karena setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B. Diagram panah (b) bukan merupakan fungsi karena ada anggota A, yaitu a, mempunyai dua pasangan anggota B, yaitu 1 dan 2. Diagram panah (c) bukan merupakan fungsi karena ada anggota A, yaitu a, tidak mempunyai pasangan anggota B

2. Domain, Kodomain, dan Range Fungsi

Perhatikan fungsi yang dinyatakan sebagai diagram panah pada gambar di samping. Pada fungsi tersebut, himpunan A disebut domain (daerah asal) dan himpunan B disebut kodomain (daerah kawan). Dari gambar tersebut, kamu juga memperoleh:

• 2  B merupakan peta dari 1  A
• 3  B merupakan peta dari 2  A
• 4  B merupakan peta dari 3  A

Himpunan peta tersebut dinamakan range (daerah hasil). Jadi, dari diagram panah pada Gambar 2.5 diperoleh:

• Domainnya (Df) adalah A = {1, 2, 3}.
• Kodomainnya adalah B = {1, 2, 3, 4}.
• Rangenya (Rf) adalah {2, 3, 4}.
  

Contoh Soal : Perhatikan diagram panah berikut. Diagram panah tersebut menunjukkan fungsi himpunan P ke himpunan Q dengan relasi "dua kali dari". Tentukanlah domain, kodomain, dan range fungsinya. Jawab : • Domainnya (Df) adalah P = {4, 6, 8, 10} • Kodomainnya adalah Q = {1, 2, 3, 4, 5} • Rangenya (Rf) adalah {2, 3, 4, 5}

3. Grafik Fungsi

Perhatikan kembali Gambar 2.5 . Aturan yang memetakan himpunan A ke
himpunan B pada gambar tersebut adalah untuk setiap x anggota A dipetakan
ke (x + 1) anggota B. Suatu fungsi dinotasikan dengan huruf kecil, seperti f,
g, atau h. Jika fungsi pada Gambar 2.5 dinamakan f maka fungsi tersebut
dinotasikan dengan f: x  x + 1 (dibaca: fungsi f memetakan x ke x + 1).
Dengan demikian, pada pemetaan f: x  x + 1 dari himpunan A ke himpunan
B diperoleh.
Untuk x = 1, f: 1  1 + 1 atau f: 1  2 sehingga (1, 2)  f,
Untuk x = 2, f: 2  2 + 1 atau f: 2  3 sehingga (2, 3)  f,
Untuk x = 3, f: 3  3 + 1 atau f: 3  4 sehingga (3, 4)  f.
Untuk memudahkan cara menulis atau membaca, suatu pemetaan dapat dituliskan dalam bentuk tabel atau daftar. Untuk fungsi f : x  x + 1, tabelnya adalah sebagai berikut.

Dengan menggunakan pasangan-pasangan berurutan yang diperoleh pada Tabel 2.6 dapat digambar grafik Cartesius untuk fungsi f: x → x + 1 seperti tampak pada Gambar 2.6 . Gambar 2.6 merupakan grafik Carteius fungsi f: x → x + 1 dengan
domain Df = A = {1, 2, 3,}, kodomain B = {1, 2, 3, 4} dan Range Rf = {2, 3, 4} yang digambarkan dengan noktah-noktah. Jika domain dan kodomainnya diperluas pada himpunan bilangan riil, rangenya ditunjukkan dengan garis yang melalui noktah-noktah seperti pada Gambar 2.6.

Contoh Soal : Gambarlah grafik fungsi f: x → 2x pada bidang Cartesius dengan domain dan kodomainnya himpunan bilangan riil. Jawab : Terdapat beberapa langkah untuk menggambarkan suatu grafik fungsi, sebagai berikut. (1) Tentukan domainnya. Untuk memudahkan, ambil beberapa bilangan bulat di sekitar nol. (2) Buat tabel pasangan berurutan fungsi tersebut. (3) Gambarkan noktah-noktah pasangan berurutan tersebut pada bidang Cartesius. Kemudian, hubungkan noktah-noktah itu dengan garis lurus sehingga diperoleh grafik seperti pada gambar berikut.

C. Menghitung Nilai Fungsi

1. Notasi Fungsi

Pada bagian sebelumnya, kamu telah mengetahui bahwa fungsi dinotasikan dengan huruf kecil, seperti f, g, atau h. Pada fungsi f dari himpunan A ke himpunan B, jika x  B maka peta atau bayangan x oleh f dinotasikan dengan f (x). Perhatikan Gambar 2.7 . Gambar tersebut menunjukkan fungsi himpunan A ke himpunan B menurut aturan f : x → 2x + 1. Pada gambar, dapat dilihat bahwa x merupakan anggota domain f. Fungsi f : x → 2x + 1 berarti fungsi f memetakan x ke 2x + 1. Oleh karena itu, bayangan x oleh fungsi f adalah  2x + 1. Jadi, dapat dikatakan bahwa f (x) = 2x + 1 adalah rumus untuk fungsi f.

Jika fungsi f : x → ax + b dengan x anggota domain f, rumus
fungsi f adalah f (x) = ax + b.

2. Menghitung Nilai Fungsi

Pada bagian ini, kamu akan mempelajari cara menghitung nilai fungsi. Pelajarilah contoh-contoh soal berikut.

Contoh Soal : Diketahui fungsi f: x → 2x – 2 pada himpunan bilangan bulat. Tentukan: a. f (1), b. f (2), c. bayangan (–2) oleh f, d. nilai f untuk x = –5, e. nilai x untuk f (x) = 8, f. nilai a jika f (a) = 14. Jawab : Diketahui f: x → 2x – 2 pada himpunan bilangan bulat. Dengan demikian rumus fungsinya f (x) = 2x –2. a. f (1) = 2 (1) – 2 = 0 b. f (2) = 2 (2) – 2 = 2 c. Bayangan (–2) oleh f sama dengan f (–2).     Jadi, f (–2) = 2 (–2) – 2 = –6 d. Nilai f untuk x = –5 adalah f (–5) = 2 (–5) – 2 = –12 e. Nilai x untuk f (x) = 8 adalah                      2x – 2 = 8                            2x = 8 + 2                            2x = 10                              x = 5 f. Nilai a jika f (a) = 14 adalah                 2a – 2 = 14                       2a = 14 + 2                       2a = 16                         a = 8 Contoh Soal : Diketahui g: x → x2 + 2 dengan domain {x | – 4 < x ≤ 2, x  bilangan bulat} dan kodomain bilangan bulat. a. Tuliskan rumus untuk fungsi g. b. Tuliskan domain g dengan mendaftar anggota-anggotanya. c. Tentukan daerah hasil g. d. Gambarlah grafik fungsi g jika domainnya { x | – 4 < x ≤ 1, x  bilangan riil}     dan kodomainnya diperluas pada himpunan bilangan riil. Jawab : a. Rumus untuk fungsi g adalah g(x) = x2 + 2 b. Domain g adalah Dg = { –3, –2, –1, 0, 1, 2} c. Daerah hasil g:     g(x) = x2 + 2    g (–3) = (–3)2 + 2 = 11    g (–2) = (–2)2 + 2 = 6    g (–1) = (–1)2 + 2 = 3    g (0) = (0)2 + 2 = 2    g (1) = (1)2 + 2 = 3    g (2) = (2)2 + 2 = 6    Jadi, daerah hasil g adalah Rg = {2, 3, 6, 11} d. Jika domainnya diketahui{ x | –4 < x ≤ 1, x     bilangan riil} dan kodomainnya diperluas    pada himpunan bilangan riil, grafiknya seperti    pada gambar di samping.

3. Menentukan Rumus fungsi

Suatu fungsi dapat ditentukan rumusnya jika nilai data diketahui. Bagaimanakah caranya? Untuk menjawabnya, pelajarilah contoh soal berikut.

Contoh Soal :
Fungsi h pada himpunan bilangan riil ditentukan oleh rumus h(x) = a x + b, dengan
a dan b bilangan bulat. Jika h (–2) = –4 dan h(1) = 5, tentukan:
a. nilai a dan b,
b. rumus fungsi tersebut.
Jawab :
h(x) = ax +b
a. Oleh karena h(–2) = –4 maka h(–2) = a(–2) + b = –4
                                                     –2a + b = –4 …(1)
                                  h(1) = 5 maka h(1) = a (1) + b = 5
                                                        a + b = 5
                                                               b = 5 – a …(2)
    Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (1), diperoleh:
    –2a + b = –4
    –2a + (5 – a) = –4
      –2a + 5 – a = –4
            –3a + 5 = –4
                   –3a = –9
                      a = 3
   Substitusikan nilai a = 3 ke persamaan (2), diperoleh
    b = 5 – a
       = 5 – 3 = 2
   Jadi, nilai a sama dengan 3 dan nilai b sama dengan 2.
b. Oleh karena nilai a = 3 dan nilai b = 2, rumus fungsinya adalah h(x) = 3x + 2.